Mövzu 15.Reqressiya analizi.

                            Mövzu 15.Reqressiya analizi.

 

                                               P    L    A    N

 

1.Əsas anlayışlar

     2.  Cüt xətti reqressiya analizi

2.1.Reqressiya əmsallarının təyini

2.2.Reqressiya analizinin ilkin şərtləri.Qauss-Markov şərtləri.

3. Qeyri xətti reqressiya.

4.Reqressiya əmsalları üçün etibarlılıq intervallarının          qurulması

4.1.  reqressiya əmsalı üçün etibarlılıq intervalının qurulması.

4.2. reqressiya əmsalı üçün etibarlılıq intervalının   qurulması.

6.Şərti riyazi gözləmə üçün etibarlılıq intervalının qurulması.

7.Reqressiya tənliyinin  əhəmiyyətliliyinin yoxlanılması

 

         1.S.Ö.Ömərov, N.Ə.cavadov.Riyazi və tətbiqi          statistika.Bakı,    Azərnəşr, 2007.

         2. Ə.Ə.Hüseynov, S.Y.Qasımov. Ehtimal nəzəriyyəsi və    riyazi          statistika. Bakı, Çaşıoölu, 2006.

 

 

Mövzu 15.Reqressiya analizi.

        1. Əsas anlayışlar

Riyazi statistikanın metodlarının tətbiqi zamanı aşağıdakı məsələyə тез-тез rast gəlinir.

 dəyişənlərindən və b1, b2, …, bk naməlum parametrlərindən asılı  təsadüfi kəmiyyəti öyrənilir. vektoruna – ölçülü baş yığım kimi, i-ci sınağın nəticələrinə

,

isə bu yığımdan həcmləri n olan seçmələr kimi baxaq.

b1, b2, …, bk naməlum parametrlərini təyin etmək tələb edilir.Bu məsələyə cüt xətti reqressiya analizi məsələsi deyilir.

Qeyd edildiyi kimi reqressiya analizi  təsadüfü kəmiyyətinin  dəyişənlərindən asılılığını öyrənən statistik təhlil metodudur. Burada  dəyişənləri təsadüfü kəmiyyətlər hesab edilmir. Reqressiya analizinin tətbiqi zamanı  təsadüfü kəmiy­yətinin s2 dispersiyalı normal paylanmaya malik olduğu fərz edilir.

Reqressiya tənliyinin və bi əmsallarının əhəmiyyətliliyinin yoxlanması və bi-lər üçün etibarlılıq intervalının qurulması üçün Y təsadüfü kəmiyyətlərinin normal paylanmaya malik olması zəruridir. Bu şərt bilər üçün nöqtəvi qiymətləndirmələr qurul­ması üçün zəruri deyil.

Reqressiya tanalizində xətti model dedikdə naməlum b1, b2, …, bparametrlərindən xətti asılı olan model başa düşülür.Naməlum parametrlərdən və dəyişənlərindən xətti asılı olan model isə xüsusi xətti model adlanır.

Ümumi şəkildə reqressiya təhlilinin xətti modeli aşağıdakı şəkildədir:

Burada,  – dəyişənlərinin müəyyən funksiyası,  e  isə təsadüfü kəmiyyətdir:

 

Reqressiya tənliyinin növü öyrənilən hadiсənin təhlilinə əsasən müəyyən edilir. Təсrübədə adətən reqressiya tənliyinin aşağıdakı növlərinə rast gəlinir.

1) xətti – ;

2) polinomial – ;

3) hiperbolik – ;

4) n – ölçülü xətti – ;

5) üstlü – ;

Üstlü reqressiya tənliklərini loqarifləmə əməliyyatının köməyi ilə parametrlərə görə xətti tənliyə gətirmək olar.

Doğrudan da,

 

işarə etsək, əvəzləmədən sonra

 

olduğunu alırıq. Eyni qayda ilə

 

əvəzləmələrinin köməyi ilə hiperbоlik və polinomial reqressiya tənlikləri xətti tənliklərə gətirilə bilər.

2. Cüt xətti reqressiya.

  2.1. Reqressiya əmsallarının təyini

Tutaq ki, öyrənilən hadiсəmin təhlili əsasında demək olar ki, ,– in xətti funksiyasıdır, yəni

burada  və  seçmə müşahidəsinə əsasən qiymətləndirilməsi tələb edilən naməlum parametrlərdir.Tutaq ki, və parametrlərini tapmaq üçün baş yığımından həcmi n olan seçmə götürülmüşdür. i-ci () müşahidənin nəticəsini (xi,yi) ilə işarə edək.Bu halda reqressiya analizi modeli

şəklində olar.Burada ei-lər asılı olmayan normal paylanmış təsadüfü kəmiyyətlərdir və

Ən kiçik kvadratlar üsuluna görə naməlum b0b1 əmsalları

şərtindən tapılır.

funksiyasının minimumunu tapmaq üçün və ə görə xüsusi törəmələri hesablayaq:

Ekstremimun zəruri şərtinə əsasən və  naməlum parametrlərini tapmaq üçün

tənliklər sistemini alırıq.Burada b0b1 uyğun olaraq naməlumvə parametrlərinin qiymətləndirmələridir. Sadə çevirmələrdən sonra

tənliklər sistemini alırıq. Bu tənliklər sisteminə normal tənliklər sistemi deyilir.

Tənliklər sistemini və görə həll edərək

(5)

 

olduğunu alarıq.Burada,

Qeyd edək ki, olduqda b0b1 üçün tapılmış ifadələr xeyli sadələşir. Belə ki, bu şərt ödənildikdə

olur. Bu şərt ödənilmədikdə isə  əvəzləməsi aparmaqla şərtinə gəlmək olar.

Reqressiya xətti   nöqtəsindən keçir. reqressiyanın bucaq əmsalıdır və -vahid qədər artdıqda -in orta hesabla neçə vahid artdığını göstərir.

Reqressiya tənliyi qurulduqdan sonra -in müşahidə edilən qiymətlərinişəklində göstərmək olar. xətaları kimi  qalıqları da təsadüfi kəmiyyətlərdir, ancaq onlar -lərdən fərqli olaraq müşahidə ediləndirlər.

olduğunu göstərək.Doğrudan da,

olduğundan

və  qəbul  edək.Onda

Beləliklə, reqressiya tənliyinin

şəklində olduğunu alarıq.

İndi isə göstərək ki,  normal paylanmış təsadüfü kəmiyyət olduqda ən kiçik kvadratlar və ən böyük həqiqətəoxşarlıq üsulları ilə alınmış qiymətləndirmələr üst – üstə düşür.

Tutaq ki,  baş yığımdan həcmi n olan (xi,yi), () asılı olmayan seçməsi götürülmüşdür.

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, reqressiya analizində -lərə asılı olmayan  parametrli normal təsadüfü kəmiyyətlər kimi baxılır.Onda onların sıxlıq funksiyaları

olar.Bu halda seçmənin həqiqətəoxşarlıq funksiyası

 

şəklində olar.

Ən böyük həqiqətəoxşarlıq üsuluna görə ,  s2 parametrlərinin qiymətləndirmələri olaraq L funksiyasına maksimum qiymət verən b0, b1 və  qiymətlərini götürmək lazımdır.Verilmiş x1, x2, …, xns2 üçün

funksiyası özünün ən kiçik qiymətini aldıqda  həqiqətəoxşarlıq funksiyası öz maksimumunu alır. Bu isə ən kiçik kvadratlar üsuluna görə b0 və b1 tapılması şərtləri ilə üst – üstə düşür.

2.2.reqressiya analizinin ilkin şərtləri.Qauss-Markov şərtləri

reqressiya modelində  təsadüfi kəmiyyəti iki toplananın cəmindən ibarərdir:

1) təsadüfü olmayan ;

2) təsadüfü .

Reqressiya əmsalları  təsadüfü kəmiyyətinin xətti funksuyasıdır və nəzəri olaraq onları da iki toplananın cəmi şəklində göstərmək olar.

munasibətlərinə əsasənreqressiya əmsalları üçün

ifadələrini alarıq.Beləliklə, reqressiya əmsallarını iki toplananın cəmi şəklində göstərmək olar.Birinci toplanan reqressiya əmsallarının əsil qiymətinə bərabər olan təsadüfü olmayan kəmiyyətdir, ikincisi isə -dan asılı təsadüfü kəmiyyətdir.

Ən kiçik kvadratlar üsuluna əsaslanan reqressiya analizinin mümkün nəticələrdən ən yaxşısını verməsi üçün müəyyən şərtlər- Qauss- markov şərtləri ödənilməlidir.Bu şərtlər aşağıdakılardan ibarətdir:

1.İstənilən müşahidədə təsadüfü həddin riyazi gözləməsi sıfra bərabər olmalıdır.Yəni,

2.Bütün müşahidələr üçün təsadüfü həddin dispersiyası sabit olmalıdır.Yəni,

3.Təsadüfü hədlər statistik asılı (korrelirə edilmiş) olmamalıdırlar.Yəni,

4. dəyişəni təsadüfü kəmiyyət deyildir.

Qauss-Markov şərtləri ödənildikdə  model klassik normal reqressiya modeli adlanır.

Qauss-Markov şərtləri ilə yanaşı adətən, təsadüfü həddin  parametrli normal paylanmaya malik olduğu fərz edilir, .

Qeyd edək ki, təsadüfü hədd normal paylanmaya malik olduqda onların koorrelirə edilməmiş şərti asılı olmayanlıq şərti ilə eynigüclüdür.

İndi isə Qauss-Markov şərtlərinin şərhini verək:

Beləliklə, birinci şərt parametrlərin  qiymətləndirmələrinin  yerinidəyişməyən yəni,

olduğunu göstərir.Qiymətləndirmənin yerini dəyişməyənliyi parametrlərin tapılmış qiymətləndirmələrinin onun əsil qiyməti ətrafında yerləşdiyi deməkdir.Bu şərt sabit hədd modelə daxil edildikdə  həmişə ödənilir.

İkinci şərt hər bir müşühidədə təsadüfi həddin dispersiyasının sabit qaldığını göstərir.Burada dispersiya dedikdə təsadüfü həddin seçmə aparılanadək mümkün hərəkəti başa düşülür.Dispersiyanın məlum olmadığı qəbul edilir və onun qiymətləndirilməsi reqressiya analizinin əsas məsələlərindən biridir.

Təsadüfi həddin dispersiyasının bütün müşahidələr üçün eyni olması şərti homoskedastlik ( bircinslilik) ,   dispersiyanın müşahidədən asılılğı isə heteroskedastlik adlanır. Beləliklə,

homoskedastlik.

– heteroskedastlik.

Homoskedastlik şərti ödənilmədikdə reqressiya əmsallarının qiymətləndirməsi yerinidəyişməyən olsa da effektiv olmayacaqdır.

Homoskedastlikliyin mövcudluğunu yoxlamaq və aradan qaldırılması üçün xüsusi kriterilər vardır.

Üçüncü şərt müxtəlif müşahidələr üçün təsadüfi hədlərin korrelirə edilmədiklərini göstərir.Bu şərt ödənilmədikdə deyirlər ki, qalıqların avtokorrelyasiyası mövcuddur.Təsadüfü hədlərin asılı olmayanlıq şərti ödənilmədikdə reqressiya əmsallarının ən kiçik kvadratlar üsuluna görə alınmış qiymətləndirmələri yerinidəyişməyən olsalarda effektiv deyillər.

Avtokorrelyasiyanın mövcudluğunu yoxlamaq və aradan qaldırılması üçün də xüsusi kriterilər işlənilib hazırlanmışdır.

Dördüncü şərt mühüm əhəmiyyətə malikdir.Bu şərt ödənilmədikdə reqressiya əmsallarının qiymətləndirmələri yerinidəyişən və əsaslı olmayan qiymətləndirmələrdir.

Reqressiya analizində adətən dördüncü şərti daha zəif şərtlə – -in və təsadüfü həddin paylanmalarının asılı olnazlığı şərti ilə əvəz edirlər.Bu zaman reqressiya əmsallarının qiymətləndirmələrinin xassələri dəyişmir.

Təsadüfü həddin normal paylanmaya malik olması şərti reqressiya əmsallarının əhəmiyyətliliyi haqqında hipotezlərin yoxlanılması və onlar üçün etibarlılıq intervallarının qurullması üçün vacibdir.

Teorem (Qauss-Markov).1-4 Qauss- Markov şərtləri ödənildikdə reqressiya əmsallarının ən kiçik kvadratlar üsulu ilə alınmış qiymətləndirmələri ən yaxşı xətti qiymətləndirmələrdir.Yəni, bu qiymətləndirmələr yerinidəyişməyən,əsaslı və effektiv qiymətləndirmələrdir.

İsbatı. Aydındır ki,

Qiymətləndirmələrin riyazi gözləməsini və dispersiyasını hesablayaq:

Bu isə teoremin doğruluğunu göstərir.

3. Qqeyri- xətti reqressiya.

Reqressiyanın qeyri -xəttiliyi dəyişənlərə və parametlərə görə təyin edilir.Dəyişənlərə görə qeyri- xəttilik  dəyişənlərin əvəz edilməsi, parametrlərə görə isə loqarifmləmə əməliyyatı üsulu ilə aradan qaldırırır.Məsələn, qeyri xətti tənliyi əvəzləməsi aparmaqla  tənliyinə , loqarifmləmə əməlinin köməyilə  qüvvət funksiyası  tənliyinə,  eksponensial funksiyası isə  funksiyasına çevrilir və onların parametrləri ən kiçik kvadratlar üsulu ilə qiymətləndirilir.

Eyni zamanda  tənliyinə  additiv daxil olduğuna görə onu xətti şəklə gətirmək mümkün deyildir.Bu halda qeyri – xətti reqressiyanın qiymətləndirilməsinin xüsusi üsullarından istifadə edilir.

İqtisadiyyatda aşağıdakı fuhksiyalardan istifadə edilir:

  1. Tələbin reqressiya təhlilində -.
  2. Zaman sıralarının tədqiqində – burada  nisbi artımdır.

İqtisadi təhlildə  funksiyasının elastikliyi analyışından istifadə edilir. funksiyasının elastikliyi

kimi hesablanır və -in nisbi dəyişməsinə nəzərən -in nisbi dəyişməsini xarakterizə edir.O, -n 1% dəyişməsi nəticəsində -in neşə faiz dəyişdiyini göstərir.

xətti funksiyasının elastikliyi -dən asılıdır.Yəni,

Ona görə də elastikliyin orta göstəricisi

hesablanılır.

4.Reqressiya əmsalları üçün etibarlılıq intervallarının qurulması

 

4.1.  reqressiya əmsalı üçün etibarlılıq intervalının qurulması.

Tutaq ki, .Onda

 

olar. Buradan

;

və yaxud

olduğunu alırıq.

Deməli, b0-b0 fərqi normal təsadüfü kəmiyyətlərin xətti funksiyasıdır, ona görə də o özüdə normal paylanmaya malikdir və onun parametrləri aşağıdakı kimidir                                                             ,

Beləliklə, .Buradan aydın olur ki,      təsadüfü kəmiyyəti standart normal paylanmaya malikdir.Digər tərəfdən

statistikası sərbəstlik dərəcəsi  olan c2 (xi – kvadrat) paylanmasına malikdir.Burada,

dispersiyasının ən böyük həqiqətəoxşarlıq  üsulu ilə  tapılmış qiymətləndirməsidir.

Styudent paylanmasının tərifinə görə

statistikanın sərbəstlik dərəсəsi  olan Styudent paylanmasına malik olduğunu deyə bilərik. Styudent paylanmasının sıxlıq funksiyası cüt olduğundan,

 

bərabərsizliyinin baş verməsi ehtimalı

 

 

bərabərliyi ilə hesablanır. Burada Sn(t) Styudent sıxlığıdır.

Axırıncı bərabərlikdən

 

və ya

 

münasibətini alarıq. Bu münasibəti

 

bərabərliyindən təyin olunan ta ədədi vasitəsi ilə

kimi yazmaq olar. Deməli,

 

intervalı b0 parametrinin 1-a ehtimalına uyğun olan etibarlılıq intervalıdır. Nəzərə alınmalıdır ki, a əhəmiyyətlilik səviyyəsi verildikdə ta ədədi Styudent paylanmasının qiymətləri сədvəlindən tapılır.

5. reqressiya əmsalı üçün etibarlılıq intervalının qurulması.

 

 

Axırıncı tənlikdən b1-i tapırıq:

 

b1– b1 fərqi normal paylanmış təsadüfü kəmiyyətlərinin xətti kombinasiyası olduğuna görə o özü də  normal paylanmaya malik olar. b1– b1  fərqinin parametrlərini tapaq:

 

Dei=s2 olduğuna və ei-lər asılı olmadıqlarına görə

olduğunu yaza bilərik.

Beləliklə,

 

olar. Onda

olduğunu deyə bilərik.Beləliklə, sərbəstlik dərəсəsi n-2 olan

 

statistikasını alarıq.

b1 əmsalı üçün etibarlılıq intervalının qurulmasına uyğun olaraq b1 əmsalı üçün

etibarlılıq intervalını alırıq.

6.Şərti riyazi gözləmə üçün etibarlılıq intervalının qurulması.

Tutaq ki,  reqressiya tənliyinin qiymətləndirməsi  -dir.

normal paylanmaya malik iki b0 və b1 təsadüfü kəmiyyətlərin xətti funksiyası olduıuna görə normal təsadüfü kəmiyyət olar. Bu paylanmanın parametrlərini tapaq:

 

Beləliklə,

dispersiyasını tapmaq üçün əvvəlcə b0 və b1 təsadüfi kəmiyyətlərinin asılı olmadıqlarını göstərək. b0və b1fərqləri normal paylanmaya malik olduqlarına görə onların kollerilə edilməyən olduqlarından asılı olmadıqları alınır.

Beləliklə,

 

olduğunu göstərmək kifayətdir.

 

-lərin asılı olmadıqlarına, -lər təsadüfi olmayan kəmiyyətlər və   olduğuna görə

olduğunu nəzərə alsaq,

 

olduğunu yaza bilərik.

Deməli, b0 və b1 asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərdir. Onda dispersiyanın məlum xassəsinə görə

 

olar. Digər tərəfdən

olduğunu nəzərə alsaq

Deməli,

 

Onda

olar.Beləliklə,

təsadüfü kəmiyyətinin sərbəstlik dərəcəsi n-2 olan Styudent paylanmasına malik olduğunu alırıq.

Onda x=x0 olduqda  üçün

etibarlılıq intervalını alırıq.

 

7.Reqressiya tənliyinin  əhəmiyyətliliyinin yoxlanılması

 

Əsas hipotezi i , alternativ hipotezi                                                                                                                                                                                                                                                 isə şəklində qəbul edək.

Burada,  – kəmiyyətinin dispersiyasının qiymətləndirməsidir.

əsas fərziyyə rədd edilir.Bu isə o deməkdir ki, reqressiya tənliyi əhəmiyyətlidir. Əks halda onu rədd etməyə heç bir əsas yoxdur, yəni reqressiya tənliyi əhəmiyyətsizdir.

Əhəmiyyətli reqressiya tənliyi üçün reqressiya əmsalları və şərti riyazi gözləmə üçün etibarlılıq intervallarının qurulması mühüm əhəmiyyət kəsb edir.

 

 

 

Advertisements

Bir cavab yazın

Sistemə daxil olmaq üçün məlumatlarınızı daxil edin və ya ikonlardan birinə tıklayın:

WordPress.com Loqosu

WordPress.com hesabınızdan istifadə edərək şərh edirsinz. Çıxış /  Dəyişdir )

Google+ foto

Google+ hesabınızdan istifadə edərək şərh edirsinz. Çıxış /  Dəyişdir )

Twitter rəsmi

Twitter hesabınızdan istifadə edərək şərh edirsinz. Çıxış /  Dəyişdir )

Facebook fotosu

Facebook hesabınızdan istifadə edərək şərh edirsinz. Çıxış /  Dəyişdir )

%s qoşulma